¿Demuestra
que la verdad es inalcanzable?
Desde
los tiempos de Euclides, hace ya dos mil doscientos años, los matemáticos han
intentado partir de ciertos enunciados llamados "axiomas" y deducir
luego de ellos toda clase de conclusiones útiles.
En ciertos aspectos es casi como un juego, con dos
reglas. En primer lugar,
los axiomas tienen que ser los menos posibles. En segundo lugar, los axiomas tienen que ser
consistentes. Tiene que ser imposible deducir dos conclusiones que se
contradigan mutuamente.
Cualquier libro de geometría de bachillerato comienza con
un conjunto de axiomas:
-Por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una
recta
-El total es la suma de las partes, etc.
Durante
mucho tiempo se supuso que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían
constituir una geometría consistente y que por eso eran "verdaderos".
Pero en el siglo XIX se demostró que modificando de
cierta manera los axiomas de Euclides se podían construir geometrías
diferentes, "no euclidianas". Cada una de estas geometrías difería de las otras, pero
todas ellas eran consistentes. A partir de entonces no tenía ya sentido
preguntar cuál de ellas era "verdadera". En lugar, de ello había que
preguntar cuál era útil.
De
hecho, son muchos los conjuntos de axiomas a partir de los cuales se podría
construir un sistema matemático consistente: todos ellos distintos y
todos ellos consistentes.
En ninguno de esos sistemas matemáticos tendría que ser
posible deducir, a partir de sus axiomas, que algo es a la vez así y no así,
porque entonces las matemáticas no serían consistentes, habría que desecharlas.
¿Pero qué ocurre si
establecemos un enunciado y comprobamos que no podemos demostrar que es o así o
no así?
Supongamos
que digo: "El enunciado que estoy haciendo es falso."
¿Es falso? Si es falso, entonces es falso que esté
diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero si estoy diciendo algo
verdadero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería verdad que
estoy diciendo algo falso. Podría estar yendo de un lado para otro
indefinidamente. Es
imposible demostrar que lo que he dicho es o así o no así.
Supongamos que ajustamos los axiomas de la lógica a fin
de eliminar la posibilidad de hacer enunciados de ese tipo. ¿Podríamos
encontrar otro modo de hacer enunciados del tipo "ni así ni no así"?
En
1931 el matemático austriaco Kurt Gödel presentó una demostración válida que
para cualquier conjunto de axiomas siempre es posible hacer enunciados que, a
partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así ni que no son así.
En
ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los
cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.
¿Quiere decir esto que nunca podremos encontrar la
"verdad"? ¡Ni hablar!
Primero: el que un sistema matemático no sea completo no
quiere decir que lo que contiene sea "falso". El sistema puede seguir siendo muy útil, siempre
que no intentemos utilizarlo más allá de sus límites.
Segundo: el teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que
se utiliza en matemáticas. Pero la deducción no es el único modo de
descubrir la "verdad". No hay axiomas que nos permitan deducir las dimensiones del sistema
solar.
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